Przewidywanie średniej ruchomej r

Przenoszenie średniej prognozy wstępnej. Jak można się domyślić, patrzymy na niektóre z najbardziej prymitywnych podejść do prognozowania. Ale miejmy nadzieję, że są to przynajmniej wartościowe wprowadzenie do niektórych zagadnień związanych z komputerem, związanych z implementacją prognoz w arkuszach kalkulacyjnych. W tym duchu będziemy kontynuować od początku i zacząć pracę z prognozami średniej ruchomej. Przenoszenie średnich prognoz. Wszyscy znają średnie ruchome prognozy, niezależnie od tego, czy uważają, że są. Wszyscy studenci studiują je przez cały czas. Pomyśl o swoich testach w kursie, w którym podczas semestru będziesz miał cztery testy. Pozwala przyjąć, że masz 85 przy pierwszym testie. Co byś przewidział dla swojego drugiego wyniku testu Jak sądzisz, co Twój nauczyciel przewidział dla twojego następnego wyniku testu Co twoim zdaniem mogą przewidzieć twoi znajomi dla twojego następnego wyniku testu Co twoim zdaniem rodzice mogą przewidzieć dla twojego następnego wyniku testu Niezależnie od wszystko, co możesz zrobić swoim przyjaciołom i rodzicom, oni i twój nauczyciel najprawdopodobniej oczekują, że dostaniesz coś w okolicy 85, którą właśnie dostałeś. Teraz załóżmy, że pomimo twojej autopromocji dla twoich przyjaciół, przeinaczasz siebie i wyobrażasz sobie, że możesz mniej uczyć się na drugi test, a więc dostajesz 73. Teraz, co się dzieje z tymi wszystkimi zainteresowanymi i beztroskimi? spodziewaj się, że dostaniesz swój trzeci test. Istnieją dwa bardzo prawdopodobne podejścia do opracowania oszacowania, niezależnie od tego, czy podzielą się nim z tobą. Mogą powiedzieć sobie, ten facet zawsze dmucha o jego inteligencję. Zamierza uzyskać kolejne 73, jeśli ma szczęście. Może rodzice będą starali się być bardziej pomocni i powiedzieć: "Cóż, jak dotąd dostałeś 85 i 73, więc może powinieneś pomyśleć o zdobyciu czegoś" (85 73) 2 79. Nie wiem, może gdybyś mniej imprezował i nie kręcili weasel w całym miejscu i jeśli zacząłeś robić o wiele więcej nauki, możesz uzyskać wyższy wynik. Oba te szacunki są w rzeczywistości średnią ruchomą. Pierwszym z nich jest wykorzystanie tylko ostatniego wyniku do prognozowania przyszłej skuteczności. Nazywa się to ruchomą średnią prognozą przy użyciu jednego okresu danych. Drugi to również prognoza średniej ruchomej, ale z wykorzystaniem dwóch okresów danych. Załóżmy, że wszyscy ci ludzie, którzy wpadają w twój wielki umysł, trochę cię wkurzyli i postanawiasz zrobić dobrze w trzecim teście z własnych powodów i wystawić wyższy wynik przed swoimi cytatami. Robisz test, a Twój wynik jest w rzeczywistości 89 Wszyscy, łącznie z sobą, są pod wrażeniem. Teraz masz już ostatni test semestru i jak zwykle czujesz potrzebę nakłonienia wszystkich do przedstawienia swoich przewidywań na temat ostatniego testu. Mam nadzieję, że widzisz wzór. Miejmy nadzieję, że widać wzór. Co według ciebie jest najdokładniejszym Gwizdkiem, podczas gdy my pracujemy. Teraz wracamy do naszej nowej firmy sprzątającej rozpoczętej przez twoją siostrę o imieniu Whistle While We Work. Masz kilka poprzednich danych dotyczących sprzedaży reprezentowanych w poniższej sekcji z arkusza kalkulacyjnego. Najpierw przedstawiamy dane dotyczące trzech okresowych prognoz średniej ruchomej. Wpis dla komórki C6 powinien być teraz. Teraz możesz skopiować tę formułę komórki do innych komórek od C7 do C11. Zwróć uwagę, jak średnia porusza się po najnowszych danych historycznych, ale używa dokładnie trzech ostatnich okresów dostępnych dla każdej prognozy. Warto też zauważyć, że nie musimy naprawdę przewidzieć z ostatnich okresów, aby rozwinąć nasze najnowsze prognozy. To zdecydowanie różni się od wyrafinowanego modelu wygładzania. Ive uwzględniła przewidywania kwotowania, ponieważ będziemy używać ich na następnej stronie internetowej w celu pomiaru ważności przewidywania. Teraz chcę przedstawić analogiczne wyniki dla dwuletniej prognozy średniej ruchomej. Wpis dla komórki C5 powinien być teraz. Teraz możesz skopiować tę formułę komórki do innych komórek od C6 do C11. Zwróć uwagę, jak teraz dla każdej prognozy są używane tylko dwa najnowsze dane historyczne. Ponownie uwzględniłem prognozy quotpast dla celów ilustracyjnych i do późniejszego wykorzystania w walidacji prognoz. Inne ważne rzeczy do zauważenia. Dla prognozy średniej ruchomej z okresu m do prognozowania wykorzystuje się tylko m najnowsze wartości danych. Nic więcej nie jest konieczne. Dla prognozy średniej ruchomej okresu m, podczas dokonywania prognozy quotpast, zauważ, że pierwsza prognoza ma miejsce w okresie m 1. Oba te problemy będą bardzo istotne, gdy opracujemy nasz kod. Rozwój funkcji przeciętnej ruchomości. Teraz musimy opracować kod dla prognozy średniej ruchomej, którą można używać bardziej elastycznie. Kod następuje. Zauważ, że dane wejściowe odnoszą się do liczby okresów, których chcesz użyć w prognozie i tablicy wartości historycznych. Możesz przechowywać go w dowolnym skoroszycie, który chcesz. Funkcja MovingAverage (Historyczne, NumberOfPeriods) Jako pojedyncze zadeklarowanie i inicjalizacja zmiennych Dim Pozycja jako zmienny licznik wymiaru jako całkowita liczba wymiarów Dim Dimit as Single Dim HistoricalSize jako liczba całkowita Inicjowanie zmiennych Counter 1 Akumulacja 0 Określanie rozmiaru tablicy historycznej HistoricalSize Historical. Count dla licznika 1 na NumberOfPeriods Kumulacja odpowiedniej liczby ostatnio obserwowanych wartości Akumulacja akumulacja Historycznie (HistoricalSize - NumberOfPeriods Counter) MovingAverage Accumulation NumberOfPeriods Kod zostanie wyjaśniony w klasie. Chcesz umieścić funkcję w arkuszu kalkulacyjnym, aby wynik obliczeń pojawiał się tam, gdzie powinien być następujący. Dodaj trend lub ruchomą średnią linię do wykresu Dotyczy: Excel 2018 Word 2018 PowerPoint 2018 Excel 2017 Word 2017 Outlook 2017 PowerPoint 2017 Więcej. Mniej Aby wyświetlić wykresy danych lub średnie kroczące na utworzonym wykresie. możesz dodać linię trendu. Można również rozszerzyć linię trendu poza rzeczywiste dane, aby pomóc przewidzieć przyszłe wartości. Na przykład kolejna liniowa tendencja prognozuje dwa kwartały przed sobą i wyraźnie wskazuje na tendencję wzrostową, która wygląda obiecująco na przyszłą sprzedaż. Możesz dodać trend do wykresu 2-D, który nie jest ułożony w stos, w tym obszar, pasek, kolumna, linia, czas, rozproszenie i bańka. Nie można dodać linii trendu do wykresu ułożonego, trójwymiarowego, radaru, wykresu kołowego, powierzchni lub pączka. Dodaj linię trendu Na wykresie kliknij serię danych, do której chcesz dodać linię trendu lub średnią ruchomą. Linia trendu rozpocznie się w pierwszym punkcie danych wybranych serii danych. Sprawdź pole linii trendu. Aby wybrać inny typ linii trendu, kliknij strzałkę obok linii trendu. a następnie kliknij Exponential. Prognoza liniowa. lub średnia dwugodzinna. Aby uzyskać dodatkowe linie trendu, kliknij Więcej opcji. Jeśli wybierzesz Więcej opcji. kliknij żądaną opcję w panelu Formatuj linię trendu w obszarze Opcje linii trendu. Jeśli wybierzesz wielomian. wprowadź najwyższą moc dla zmiennej niezależnej w polu zamówienia. Jeśli wybierzesz średnią ruchomą. wprowadź liczbę okresów używanych do obliczania średniej ruchomej w polu Okres. Wskazówka: Linia trendu jest najdokładniejsza, gdy jej wartość R-kwadratowa (liczba od 0 do 1, która pokazuje, jak blisko wartości szacunkowe dla linii trendu odpowiadają rzeczywistym danym) jest równa 1 lub zbliżona do 1. Po dodaniu linii trendu do danych , Excel automatycznie oblicza swoją wartość R-kwadrat. Możesz wyświetlić tę wartość na wykresie, zaznaczając wartość Wyświetl R-kwadrat na wykresie (Formatowanie panelu linii środkowej, opcje linii trendu). Więcej informacji na temat wszystkich opcji linii trendu można znaleźć w poniższych sekcjach. Linearna linia trendu Użyj tego typu linii trendu, aby utworzyć najlepiej pasującą linię prostą dla prostych liniowych zestawów danych. Twoje dane są liniowe, jeśli wzorzec w punktach danych wygląda jak linia. Linia trendu zazwyczaj pokazuje, że coś rośnie lub maleje w stałym tempie. Linearna linia trendu używa tego równania do obliczenia najmniejszych kwadratów pasujących do linii: gdzie m jest nachyleniem, a b jest punktem przecięcia. Następująca liniowa tendencja pokazuje, że sprzedaż lodówek konsekwentnie wzrosła w ciągu 8 lat. Zauważ, że wartość R-kwadrat (liczba od 0 do 1, która pokazuje, jak bardzo wartości szacunkowe dla linii trendu odpowiadają twoim faktycznym danym) wynosi 0,9792, co jest dobrym dopasowaniem linii do danych. Pokazując najlepiej dopasowaną linię zakrzywioną, ta linia trendu jest przydatna, gdy szybkość zmian w danych wzrasta lub maleje szybko, a następnie się wyrównuje. Logarytmiczna linia może używać wartości ujemnych i pozytywnych. Logarytmiczna linia trendu używa tego równania do obliczania najmniejszych kwadratów pasujących do punktów: gdzie cib są stałymi, a ln jest funkcją logarytmu naturalnego. Poniższa logarytmiczna tendencja przewiduje przewidywany wzrost populacji zwierząt na obszarze o stałej przestrzeni, gdzie liczba ludności wyrównała się w miarę zmniejszania się przestrzeni dla zwierząt. Zauważ, że wartość R-kwadrat wynosi 0,933, co jest relatywnie dobrym dopasowaniem linii do danych. Ta linia trendu jest przydatna, gdy twoje dane się zmieniają. Na przykład podczas analizowania zysków i strat w dużym zbiorze danych. Kolejność wielomianu można określić na podstawie liczby fluktuacji danych lub liczby zakrętów (wzgórz i dolin) na krzywej. Zazwyczaj wielomianowa linia trendu ma tylko jedno wzgórze lub dolinę, Zakon 3 ma jedno lub dwa wzgórza lub doliny, a Zakon 4 ma do trzech wzgórz lub dolin. Linia wielomianowa lub krzywoliniowa wykorzystuje to równanie do obliczenia najmniejszych kwadratów pasujących do punktów: gdzie b i są stałymi. Następująca wielomianowa linia trendu (jedno wzgórze) pokazuje zależność między prędkością jazdy a zużyciem paliwa. Zauważ, że wartość R-kwadrat wynosi 0,979, która jest bliska 1, więc linie dobrze pasują do danych. Pokazywanie zakrzywionej linii, ta linia trendu jest przydatna dla zestawów danych, które porównują pomiary, które wzrastają z określoną szybkością. Na przykład przyspieszenie samochodu wyścigowego w odstępach 1-sekundowych. Jeśli dane zawierają zero lub ujemne wartości, nie można utworzyć linii trendu mocy. Linia trendu siłowego wykorzystuje to równanie do obliczania najmniejszych kwadratów pasujących do punktów: gdzie cib są stałymi. Uwaga: ta opcja nie jest dostępna, jeśli dane zawierają wartości ujemne lub zerowe. Poniższy wykres pomiaru odległości przedstawia odległość w milach w sekundach. Linia trendu wyraźnie wskazuje na rosnące przyspieszenie. Zauważ, że wartość R-kwadrat wynosi 0,986, co jest prawie idealnie dopasowane do linii danych. Pokazując linię zakrzywioną, ta linia trendu jest przydatna, gdy wartości danych wzrastają lub spadają w stale rosnących cenach. Nie można utworzyć wykładniczej linii trendu, jeśli dane zawierają zero lub ujemne wartości. Wykładnicza linia trendu używa tego równania do obliczania najmniejszych kwadratów dopasowanych przez punkty: gdzie cib są stałymi, a e jest podstawą logarytmu naturalnego. Następująca wykładnicza linia trendu pokazuje malejącą ilość węgla 14 w obiekcie w miarę jego starzenia się. Zauważ, że wartość R-kwadrat wynosi 0,990, co oznacza, że ​​linia pasuje do danych niemal idealnie. Przenoszenie średniej linii trendu Ta linia trendu wyrównuje fluktuacje danych, aby wyraźniej pokazać wzór lub trend. Średnia ruchoma używa określonej liczby punktów danych (ustawionej przez opcję Okres), uśrednia je i wykorzystuje średnią wartość jako punkt w linii. Na przykład, jeśli okres jest ustawiony na 2, średnia średnich dwóch pierwszych punktów danych jest używana jako pierwszy punkt w ruchomym średnim zakresie. Średnia z drugiego i trzeciego punktu danych jest używana jako drugi punkt w linii trendu itp. Średnia linia ruchoma używa tego równania: Liczba punktów w ruchomej średniej linii trendu jest równa całkowitej liczbie punktów w serii, minus numer określony dla okresu. Na wykresie punktowym linia trendu jest oparta na kolejności wartości x na wykresie. Aby uzyskać lepszy wynik, posortuj x wartości przed dodaniem średniej ruchomej. Poniższa średnia ruchoma linia trendu pokazuje wzór liczby sprzedanych domów w okresie 26 tygodni. W praktyce średnia ruchoma zapewni dobre oszacowanie średniej z szeregów czasowych, jeśli średnia jest stała lub powoli się zmienia. W przypadku stałej średniej, największa wartość m da najlepsze oszacowanie podstawowej średniej. Dłuższy okres obserwacji będzie wynosił średnie efekty zmienności. Celem zapewnienia mniejszej m jest umożliwienie prognozowania reakcji na zmianę procesu leżącego u ich podstaw. W celu zilustrowania proponujemy zestaw danych zawierający zmiany w podstawowej średniej serii czasowej. Na rysunku przedstawiono serie czasów używane do ilustracji wraz ze średnim zapotrzebowaniem, z którego generowane były serie. Średnia rozpoczyna się jako stała przy 10. Zaczynając od czasu 21, zwiększa się o jedną jednostkę w każdym okresie, aż osiągnie wartość 20 w czasie 30. Następnie staje się stała ponownie. Dane są symulowane przez dodanie do średniej, losowego szumu z rozkładu normalnego ze średnią zerową i odchyleniem standardowym 3. Wyniki symulacji są zaokrąglane do najbliższej liczby całkowitej. W tabeli przedstawiono symulowane obserwacje stosowane w przykładzie. Kiedy używamy tabeli, musimy pamiętać, że w danym momencie znane są tylko przeszłe dane. Szacunki modelu parametru, dla trzech różnych wartości m są pokazane razem ze średnią serii czasowej na poniższym rysunku. Rysunek pokazuje średnie ruchome oszacowanie średniej za każdym razem, a nie prognozę. Prognozy przesuwają krzywą średniej ruchomej w prawo o okresy. Jeden z wniosków jest natychmiast widoczny na rysunku. We wszystkich trzech szacunkach średnia ruchoma pozostaje w tyle za tendencją liniową, przy czym opóźnienie wzrasta o m. Opóźnienie jest odległością między modelem a oszacowaniem w wymiarze czasowym. Ze względu na opóźnienie, średnia ruchoma nie docenia uwag, gdy średnia rośnie. Przeciążeniem estymatora jest różnica w określonym czasie w wartości średniej modelu i średniej wartości przewidywanej przez średnią ruchomą. Przeciążenie, gdy średnia rośnie, jest ujemne. Dla malejącej średniej, nastawienie jest dodatnie. Opóźnienie w czasie i odchylenie wprowadzone w oszacowaniu są funkcjami m. Im większa wartość m. im większa jest wielkość opóźnienia i stronniczości. Dla ciągle rosnącej serii z tendencją a. wartości opóźnień i stronniczości estymatora średniej podano w równaniach poniżej. Krzywe przykładowe nie pasują do tych równań, ponieważ przykładowy model nie zwiększa się w sposób ciągły, raczej zaczyna się jako stała, zmienia się w trend, a następnie staje się stały. Również przykładowe krzywe mają wpływ na hałas. Ruchome przeciętne prognozy okresów w przyszłość są przedstawione przez przesunięcie krzywych w prawo. Opóźnienie i nastawienie wzrastają proporcjonalnie. Poniższe równania wskazują opóźnienie i odchylenie okresów prognozy w przyszłości w porównaniu do parametrów modelu. Ponownie, formuły te są dla szeregu czasowego ze stałym trendem liniowym. Nie powinniśmy być zaskoczeni tym rezultatem. Estymator średniej ruchomej opiera się na założeniu stałej średniej, a przykład ma tendencję liniową w średniej podczas części okresu badania. Ponieważ serie czasu rzeczywistego rzadko będą dokładnie przestrzegać założeń dowolnego modelu, powinniśmy być przygotowani na takie wyniki. Z rysunku można również wyciągnąć wniosek, że zmienność hałasu ma największy wpływ na mniejsze m. Oszacowanie to jest dużo bardziej zmienne dla średniej kroczącej wynoszącej 5 niż średnia krocząca wynosząca 20. Mamy sprzeczne pragnienia zwiększenia m, aby zmniejszyć efekt zmienności z powodu hałasu, i zmniejszyć m, aby prognoza lepiej reagowała na zmiany w średniej. Błąd jest różnicą między rzeczywistymi danymi a prognozowaną wartością. Jeżeli szereg czasowy jest rzeczywiście stałą wartością, oczekiwana wartość błędu wynosi zero, a wariancja błędu składa się z terminu będącego funkcją drugiego i będącego wariancją szumu,. Pierwszy termin to wariancja średniej oszacowanej z próbką m obserwacji, przy założeniu, że dane pochodzą z populacji o stałej średniej. Ten termin jest zminimalizowany przez uczynienie m jak największym. Duża m powoduje, że prognoza nie reaguje na zmianę podstawowej serii czasowej. Aby prognoza odpowiadała na zmiany, chcemy m tak małą (1), ale zwiększa to wariancję błędu. Praktyczne prognozy wymagają wartości pośredniej. Prognozowanie w programie Excel Dodatek Prognozowania implementuje średnie ruchome wzory. Poniższy przykład pokazuje analizę dostarczoną przez dodatek dla przykładowych danych w kolumnie B. Pierwsze 10 obserwacji jest indeksowane od -9 do 0. W porównaniu do powyższej tabeli, indeksy okresu są przesuwane o -10. Pierwsze dziesięć obserwacji dostarcza wartości początkowe dla oszacowania i są używane do obliczenia średniej ruchomej dla okresu 0. Kolumna MA (10) (C) pokazuje obliczone średnie ruchome. Parametr średniej ruchomej m znajduje się w komórce C3. Kolumna Fore (1) (D) pokazuje prognozę dla jednego okresu w przyszłości. Interwał prognozy znajduje się w komórce D3. Gdy przedział prognozy zostanie zmieniony na większą liczbę, liczby w kolumnie "Fore" zostaną przesunięte w dół. Err (1) (E) pokazuje różnicę między obserwacją a prognozą. Na przykład obserwacja w czasie 1 to 6. Prognozowana wartość wykonana z średniej ruchomej w czasie 0 wynosi 11,1. Błąd to -5.1. Odchylenie standardowe i średnie odchylenie średnie (MAD) są obliczane odpowiednio w komórkach E6 i E7. Zastosowanie R do analizy szeregów czasowych Analiza szeregów czasowych W tej książeczce dowiesz się, jak używać oprogramowania statystycznego R do przeprowadzania prostych analiz, które są typowe w analizie. dane szeregów czasowych. Niniejsza broszura zakłada, że ​​czytelnik ma podstawową wiedzę na temat analizy szeregów czasowych, a głównym celem broszury nie jest wyjaśnienie analizy szeregów czasowych, ale raczej wyjaśnienie, w jaki sposób przeprowadzić te analizy za pomocą R. Jeśli jesteś nowy w szeregach czasowych analizy i chciałbym dowiedzieć się czegoś więcej na temat przedstawionych tu koncepcji, gorąco poleciłbym książkę Open University 8220Time series8221 (kod produktu M24902), dostępną w sklepie Open University. W tej książeczce wykorzystam zestawy danych szeregów czasowych, które zostały udostępnione przez Rob'a Hyndman'a w jego bibliotece danych serii czasowych w robjhyndmanTSDL. Jeśli podoba Ci się ta broszura, możesz również sprawdzić moją broszurę na temat używania R dla statystyk biomedycznych, a-little-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. i moją książeczkę na temat używania R do analizy wielowymiarowej, little-book-of-r-for-multivariate-analysis. readthedocs. org. Odczytywanie danych szeregu czasowego Pierwszą rzeczą, którą będziesz chciał zrobić, aby przeanalizować dane z serii czasowej, będzie odczytanie go do R i narysowanie szeregu czasowego. Możesz odczytywać dane do R za pomocą funkcji scan (), która zakłada, że ​​twoje dane dla kolejnych punktów czasowych znajdują się w prostym pliku tekstowym z jedną kolumną. Na przykład plik robjhyndmantsdldatamisckings. dat zawiera dane dotyczące wieku śmierci kolejnych królów Anglii, począwszy od Williama Zdobywcy (oryginalne źródło: Hipel i Mcleod, 1994). Zestaw danych wygląda następująco: pokazano tylko pierwsze wiersze pliku. Pierwsze trzy linie zawierają pewien komentarz do danych, i chcemy to zignorować, gdy odczytamy dane do R. Możemy tego użyć, używając parametru 8220skip8221 funkcji scan (), która określa liczbę linii na górze plik do zignorowania. Aby odczytać plik do R, ignorując pierwsze trzy wiersze, wpisujemy: W tym przypadku wiek śmierci 42 kolejnych królów Anglii został odczytany w zmiennej 8216kings8217. Po przeczytaniu danych szeregów czasowych w R, następnym krokiem jest przechowywanie danych w obiekcie szeregów czasowych w R, aby można było używać wielu funkcji R8217 do analizy danych szeregów czasowych. Aby przechowywać dane w obiekcie szeregów czasowych, używamy funkcji ts () w R. Na przykład, aby przechowywać dane w zmiennej 8216kings8217 jako obiekt szeregów czasowych w R, wpisujemy: Czasami zestaw danych z serii czasowych, który mogły być zbierane w regularnych odstępach czasu, które były krótsze niż rok, na przykład miesięcznie lub kwartalnie. W takim przypadku można określić liczbę razy, kiedy dane były zbierane rocznie, za pomocą parametru 8216frequency8217 w funkcji ts (). W przypadku miesięcznych danych szeregów czasowych ustawiasz częstotliwość 12, natomiast dla kwartalnych danych szeregów czasowych ustawiasz częstotliwość4. Można również określić pierwszy rok gromadzenia danych i pierwszy interwał w tym roku, używając parametru 8216start8217 w funkcji ts (). Na przykład, jeśli pierwszy punkt danych odpowiada drugiemu kwartałowi 1986 r., Należy ustawić startc (1986,2). Przykładem jest zestaw danych dotyczących liczby urodzeń miesięcznie w Nowym Jorku, od stycznia 1946 r. Do grudnia 1959 r. (Pierwotnie zebrane przez Newtona). Te dane są dostępne w pliku robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Możemy odczytać dane do R i zapisać je jako obiekt szeregów czasowych, wpisując: Podobnie, plik robjhyndmantsdldatadatafancy. dat zawiera miesięczną sprzedaż sklepu z pamiątkami w nadmorskim kurorcie w Queensland, Australia, styczeń 1987-grudzień 1993 (oryginalne dane z Wheelwright i Hyndman, 1998). Możemy odczytać dane do R, wpisując: Plotting Time Series Po przeczytaniu szeregu czasowego w R, następnym krokiem jest zwykle wykonanie wykresu danych szeregów czasowych, które można wykonać za pomocą funkcji plot. ts () w R. Na przykład, aby narysować serie czasowe wieku śmierci 42 kolejnych królów Anglii, wpisujemy: Na wykresie czasu możemy zobaczyć, że ten szereg czasowy mógłby być prawdopodobnie opisany za pomocą modelu addytywnego, ponieważ fluktuacje losowe w danych są w przybliżeniu stałe wielkości w czasie. Podobnie, aby narysować szereg czasowy liczby urodzeń miesięcznie w Nowym Jorku, wpisujemy: z tej serii czasowej widać, że sezonowo występują różnice w liczbie urodzeń na miesiąc: każdego lata jest szczyt i koryta każdej zimy. Ponownie, wydaje się, że ta seria czasowa mogłaby być prawdopodobnie opisana za pomocą modelu addytywnego, ponieważ wahania sezonowe są z grubsza stałe w czasie i nie zależą od poziomu szeregów czasowych, a losowe wahania również wydają się być w przybliżeniu stały rozmiar w czasie. Podobnie, aby wyliczyć serie czasowe miesięcznej sprzedaży sklepu z pamiątkami w nadmorskim kurorcie w Queensland, w Australii, wpisujemy: W tym przypadku wydaje się, że model addytywny nie jest odpowiedni do opisu tej serii czasowej, ponieważ rozmiar sezonowych fluktuacji i losowych wahań wydaje się wzrastać wraz z poziomem szeregów czasowych. W związku z tym konieczne może być przekształcenie szeregów czasowych w celu otrzymania przekształconych szeregów czasowych, które można opisać za pomocą modelu addytywnego. Na przykład, możemy przekształcić szeregi czasowe, obliczając naturalny dziennik oryginalnych danych: Tutaj widzimy, że wielkość sezonowych fluktuacji i losowych fluktuacji w przekształcanych logarytmicznie szeregach czasowych wydaje się być z grubsza stała w czasie i nie zależy od poziomu szeregu czasowego. W ten sposób szereg czasowy przekształcony logicznie może być opisany za pomocą modelu addytywnego. Dekompozycja szeregu czasowego Rozkładanie szeregu czasowego oznacza rozdzielenie go na elementy składowe, które zazwyczaj stanowią składnik trendu i składnik nieregularny, a jeśli jest to szereg czasowy sezonowy, komponent sezonowy. Rozkładanie danych nie sezonowych Niesezonowa seria czasowa składa się z komponentu trendu i nieregularnego składnika. Dekompozycja szeregów czasowych obejmuje próbę rozdzielenia szeregów czasowych na te komponenty, czyli oszacowanie składowej trendu i składowej nieregularnej. Aby oszacować składową trendu niesezonowych szeregów czasowych, które można opisać za pomocą modelu addytywnego, często stosuje się metodę wygładzania, taką jak obliczanie prostej średniej ruchomej szeregu czasowego. Funkcja SMA () w pakiecie 8220TTR8221 R może być używana do wygładzania danych szeregów czasowych za pomocą prostej średniej ruchomej. Aby skorzystać z tej funkcji, musimy najpierw zainstalować pakiet 8220TTR8221 R (aby uzyskać instrukcje dotyczące instalacji pakietu R, zobacz Jak zainstalować pakiet R). Po zainstalowaniu pakietu 8220TTR8221 R można załadować pakiet 8220TTR8221 R, wpisując: Można następnie użyć funkcji 8220SMA () 8221 do wygładzenia danych szeregów czasowych. Aby użyć funkcji SMA (), musisz określić kolejność (rozpiętość) prostej średniej kroczącej, używając parametru 8220n8221. Na przykład, aby obliczyć prostą średnią ruchomą rzędu 5, ustawiamy n5 w funkcji SMA (). Na przykład, jak omówiono powyżej, szeregi czasowe wieku śmierci 42 kolejnych królów Anglii są niesezonowe i można je prawdopodobnie opisać za pomocą modelu addytywnego, ponieważ losowe fluktuacje danych są w przybliżeniu stałe Czas: W ten sposób możemy spróbować oszacować komponent trendu w tej serii czasowej poprzez wygładzenie za pomocą prostej średniej kroczącej. Aby wygładzić serie czasowe za pomocą prostej średniej ruchomej rzędu 3 i wykreślić wygładzone dane szeregów czasowych, wpisujemy: Wciąż wydaje się być dość dużo losowych fluktuacji w szeregach czasowych wygładzonych przy użyciu prostej średniej ruchomej rzędu 3. Dlatego, aby dokładniej oszacować komponent trendu, możemy spróbować wygładzić dane za pomocą prostej średniej ruchomej wyższego rzędu. To wymaga odrobiny prób i błędów, aby znaleźć odpowiednią ilość wygładzania. Na przykład możemy spróbować użyć prostej średniej ruchomej rzędu 8: dane wygładzone prostą średnią ruchomą rzędu 8 dają wyraźniejszy obraz komponentu trendu i widzimy, że wiek śmierci angielskich królów wydaje się spadły od około 55 do około 38 lat w okresie panowania pierwszych 20 królów, a następnie wzrosły po tym do około 73 lat przed końcem panowania 40. króla w szeregach czasowych. Dekompozycja danych sezonowych Szereg czasowy składa się z komponentu trendu, komponentu sezonowego i komponentu nieregularnego. Dekompozycja szeregów czasowych oznacza rozdzielenie szeregów czasowych na te trzy komponenty: czyli oszacowanie tych trzech składników. Aby oszacować składową trendu i składową sezonową szeregów czasowych sezonowych, które można opisać za pomocą modelu addytywnego, możemy użyć funkcji 8220decompose () 8221 w R. Funkcja ta szacuje tendencje, sezonowe i nieregularne komponenty szeregu czasowego, które można opisać za pomocą modelu addytywnego. Funkcja 8220decompose () 8221 zwraca obiekt listy jako wynik, w którym estymacje składnika sezonowego, komponentu trendu i komponentu nieregularnego są przechowywane w nazwanych elementach tych obiektów listy, nazwanych odpowiednio 8220seasonal 8221, 8220trend8221 i 8220random8221. Na przykład, jak omówiono powyżej, szeregi czasowe liczby urodzeń miesięcznie w Nowym Jorku są sezonowe z maksimum każdego lata i niecałą każdą zimę i można je prawdopodobnie opisać za pomocą modelu addytywnego, ponieważ wydaje się, że wahania sezonowe i losowe w przybliżeniu stały rozmiar w czasie: Aby oszacować trend, sezonowe i nieregularne elementy tej serii czasowej, wpisujemy: Szacowane wartości sezonowych, trendowych i nieregularnych składników są teraz przechowywane w zmiennych birthstimeseriescomponentsseasonal, birthstimeseriescomponentstrend i birthstimeseriescomponentsrandom. Na przykład możemy wydrukować wartości szacunkowe komponentu sezonowego, wpisując: Szacowane czynniki sezonowe są podawane dla miesięcy od stycznia do grudnia i są takie same dla każdego roku. Największy czynnik sezonowy przypada na lipiec (około 1,46), a najniższy na luty (ok. -2,08), wskazując, że w lipcu wydaje się być szczytem urodzeń, a co roku w lutym liczba urodzeń wzrasta. Możemy obliczyć estymowane trendy, sezonowe i nieregularne komponenty szeregów czasowych za pomocą funkcji 8220plot () 8221, na przykład: Powyższy wykres pokazuje pierwotny szereg czasowy (u góry), szacowany komponent trendu (drugi od góry), szacowany składnik sezonowy (trzeci od góry) i szacowany nieregularny składnik (na dole). Widzimy, że szacowany komponent trendu wykazuje niewielki spadek od około 24 w 1947 r. Do około 22 w 1948 r., A następnie stały wzrost od tego czasu do około 27 w 1959 r. Regulacja sezonowa Jeśli masz sezonową serię czasową, którą można opisać za pomocą model addytywny, możesz sezonowo korygować szeregi czasowe, szacując komponent sezonowy i odejmując szacowany komponent sezonowy od oryginalnych szeregów czasowych. Możemy to zrobić za pomocą oszacowania składnika sezonowego obliczonego przez funkcję 8220decompose () 8221. Na przykład, aby sezonowo dostosować serie czasowe liczby urodzeń miesięcznie w Nowym Jorku, możemy oszacować komponent sezonowy za pomocą 8220dekompozycji () 8221, a następnie odjąć składnik sezonowy od oryginalnych szeregów czasowych: Możemy następnie wykreślić dostosowane sezonowo szeregi czasowe za pomocą funkcji 8220plot () 8221, wpisując: Widać, że sezonowa zmiana została usunięta z sezonowo dostosowanych szeregów czasowych. Odseparowane sezonowo szeregi czasowe zawierają teraz komponent trendu i nieregularny komponent. Prognozy z wykorzystaniem wygładzania wykładniczego Wygładzanie wykładnicze można wykorzystać do sporządzania prognoz krótkoterminowych dla szeregów czasowych. Proste wygładzanie wykładnicze Jeśli masz serie czasowe, które można opisać za pomocą modelu addytywnego o stałym poziomie i bez sezonowości, możesz użyć prostego wygładzania wykładniczego do tworzenia prognoz krótkoterminowych. Prosta metoda wygładzania wykładniczego umożliwia oszacowanie poziomu w bieżącym punkcie czasowym. Wygładzanie jest kontrolowane przez parametr alfa dla oszacowania poziomu w bieżącym punkcie czasowym. Wartość alfa wynosi od 0 do 1. Wartości alfa zbliżone do 0 oznaczają, że przy dokonywaniu prognoz przyszłych wartości niewielka waga jest umieszczana na najnowszych obserwacjach. Na przykład plik robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat zawiera całkowite roczne opady w calach dla Londynu, z lat 1813-1912 (oryginalne dane z Hipel i McLeod, 1994). Możemy odczytać dane do R i narysować je, wpisując: Na wykresie widać, że istnieje w przybliżeniu stały poziom (średnia pozostaje stała około 25 cali). Losowe fluktuacje w szeregach czasowych wydają się być w przybliżeniu stałym rozmiarem w czasie, więc prawdopodobnie odpowiednie byłoby opisanie danych za pomocą modelu addytywnego. W ten sposób możemy tworzyć prognozy za pomocą prostego wygładzania wykładniczego. Aby uzyskać prognozy za pomocą prostego wygładzania wykładniczego w R, możemy dopasować prosty model predykcyjny wygładzania wykładniczego za pomocą funkcji 8222HoltWinters () 8221 w R. Aby użyć HoltWinters () do prostego wygładzania wykładniczego, musimy ustawić parametry betaFALSE i gammaFALSE w Funkcja HoltWinters () (parametry beta i gamma są używane do wygładzania wykładniczego Holt8217s lub wygładzania wykładniczego Holt-Winters, jak opisano poniżej). Funkcja HoltWinters () zwraca zmienną listy, która zawiera kilka nazwanych elementów. Na przykład, aby użyć prostego wygładzania wykładniczego do tworzenia prognoz dla szeregów czasowych rocznych opadów w Londynie, wpisujemy: Wyjście HoltWinters () mówi nam, że szacowana wartość parametru alfa wynosi około 0,024. Jest to bardzo bliskie zeru, informując nas, że prognozy oparte są zarówno na ostatnich, jak i mniej aktualnych obserwacjach (chociaż nieco większe znaczenie mają ostatnie obserwacje). Domyślnie HoltWinters () tworzy prognozy dla tego samego okresu czasu, który obejmuje nasz pierwotny szereg czasowy. W tym przypadku nasze pierwotne szeregi czasowe obejmowały opady dla Londynu w latach 1813-1912, więc prognozy są również z lat 1813-1912. W powyższym przykładzie zapisaliśmy dane wyjściowe funkcji HoltWinters () w zmiennej listy 8220rainseriesforecasts8221. Prognozy wprowadzone przez HoltWinters () są przechowywane w nazwanym elemencie tej zmiennej listy o nazwie 8220fitted8221, więc możemy uzyskać ich wartości, wpisując: Możemy wykreślić oryginalną serię czasową w stosunku do prognoz, wpisując: Wykres pokazuje pierwotny szereg czasowy w czarny, a prognozy jako czerwona linia. Szeregi czasowe prognoz są znacznie płynniejsze niż serie czasowe oryginalnych danych tutaj. Jako miarę dokładności prognoz możemy obliczyć sumę kwadratów błędów dla błędów prognozy w próbie, czyli błędy prognozy dla okresu objętego oryginalnymi szeregami czasowymi. Błędy sumy kwadratów są przechowywane w nazwanym elemencie zmiennej listy 8220rainseriesforecasts8221 o nazwie 8220SSE8221, więc możemy uzyskać jej wartość, wpisując: Oznacza to, że tutaj błędy sumy kwadratów wynoszą 1828.855. W prostym wygładzaniu wykładniczym powszechnie stosuje się pierwszą wartość w szeregach czasowych jako wartość początkową dla poziomu. Na przykład w szeregach czasowych dla opadów w Londynie pierwsza wartość wynosi 23,56 (cale) dla opadów w 1813 r. Możesz określić początkową wartość poziomu w funkcji HoltWinters (), używając parametru 8220l. start8221. Na przykład, aby utworzyć prognozy z początkową wartością poziomu ustawionego na 23,56, wpisujemy: Jak wyjaśniono powyżej, domyślnie HoltWinters () właśnie tworzy prognozy dla okresu objętego oryginalnymi danymi, czyli 1813-1912 dla opadów. szereg czasowy. Możemy tworzyć prognozy dla dalszych punktów czasowych za pomocą funkcji 8220forecast. HoltWinters () 8221 w pakiecie R 8220forecast8221. Aby użyć funkcji forecast. HoltWinters (), musimy najpierw zainstalować pakiet 8220forecast8221 R (aby uzyskać instrukcje dotyczące instalacji pakietu R, zobacz Jak zainstalować pakiet R). Po zainstalowaniu pakietu 8220forecast8221 R można załadować pakiet 8220forecast8221 R, wpisując: Podczas używania funkcji forecast. HoltWinters () jako pierwszego argumentu (input) przekazuje się model predykcyjny, który został już zainstalowany przy użyciu Funkcja HoltWinters (). Na przykład, w przypadku serii danych dotyczących opadów deszczu, zapisaliśmy model predykcyjny utworzony za pomocą HoltWinters () w zmiennej 8220rainseriesforecasts8221. Możesz określić, ile dalszych punktów czasowych chcesz prognozować, używając parametru 8220h8221 w forecast. HoltWinters (). Na przykład, aby przygotować prognozę opadów na lata 1814-1820 (8 kolejnych lat) za pomocą prognozy. HoltWinters (), wpisujemy: Funkcja forecast. HoltWinters () podaje prognozę na rok, przedział przewidywania 80 dla prognozę i przedział przewidywania 95 dla prognozy. Na przykład prognozowane opady deszczu w 1920 roku wynoszą około 24,68 cala, z 95 przedziałami przewidywania (16,24, 33,11). Aby narysować predykcje wykonane przez forecast. HoltWinters (), możemy użyć funkcji 8220plot. forecast () 8221: Tutaj prognozy dla 1913-1920 są wykreślane jako niebieska linia, interwał przewidywania 80 jako pomarańczowy zacieniony obszar, a 95 przedział prognozy jako żółty zacieniony obszar. Błędy 8217 są generowane jako obserwowane wartości minus przewidywane wartości dla każdego punktu czasowego. Możemy obliczyć błędy prognozy tylko dla okresu objętego oryginalnymi szeregami czasowymi, czyli 1813-1912 dla danych dotyczących opadów. Jak wspomniano powyżej, jedną miarą dokładności modelu predykcyjnego są błędy sumy kwadratów (SSE) dla błędów prognozy w próbie. Błędy prognozy w próbie są przechowywane w podanym elemencie 8220residuals8221 zmiennej listy zwróconej przez forecast. HoltWinters (). Jeśli nie można poprawić modelu predykcyjnego, nie powinno być żadnych korelacji między błędami prognozy dla kolejnych prognoz. Innymi słowy, jeśli istnieją korelacje między błędami prognozy dla kolejnych prognoz, prawdopodobne jest, że proste prognozy wygładzania wykładniczego mogłyby zostać ulepszone przez inną technikę prognozowania. Aby dowiedzieć się, czy tak jest, możemy uzyskać korelogram błędów prognozy w próbce dla opóźnień 1-20. Możemy obliczyć korelogram błędów prognozy za pomocą funkcji 8220acf () 8221 w R. Aby określić maksymalne opóźnienie, na które chcemy spojrzeć, używamy parametru 8220lag. max8221 w acf (). Na przykład, aby obliczyć korelogram błędów prognozy w próbie dla danych dotyczących opadów w Londynie dla opóźnień 1-20, wpisujemy: Na przykładowym korelogramie widać, że autokorelacja w opóźnieniu 3 dotyka właśnie granic istotności. Aby sprawdzić, czy istnieją znaczące dowody na niezerowe korelacje w opóźnieniach 1-20, możemy przeprowadzić test Ljung-Box. Można to zrobić w R za pomocą funkcji 8220Box. test () 8221. Maksymalne opóźnienie, na które chcemy spojrzeć, określane jest za pomocą parametru 8220lag8221 w funkcji Box. test (). Na przykład, aby sprawdzić, czy istnieją niezerowe autokorelacje na opóźnieniach 1-20, dla błędów prognozy w próbie dla danych dotyczących opadów w Londynie, wpisujemy: Tutaj statystyka testu Ljung-Box wynosi 17,4, a wartość p wynosi 0,6 , więc niewiele jest dowodów na niezerowe autokorelacje w próbnych błędach prognozy dla opóźnień 1-20. Aby mieć pewność, że model predyktywny nie może zostać ulepszony, dobrym pomysłem jest również sprawdzenie, czy błędy prognozy są zwykle dystrybuowane ze średnią zerową i stałą wariancją. Aby sprawdzić, czy błędy prognozy mają stałą wariancję, możemy sporządzić wykres czasowy błędów prognozy na wykresie: wykres pokazuje, że błędy prognozy w próbce wydają się mieć w przybliżeniu stałą zmienność w czasie, chociaż wielkość fluktuacji w początek szeregów czasowych (1820-1830) może być nieco mniejszy niż w późniejszych terminach (np. 1840-1850). Aby sprawdzić, czy błędy prognoz są normalnie dystrybuowane ze średnią zerą, możemy wykreślić histogram błędów prognoz, z nałożoną krzywą normalną, która ma średnią zero i takie samo odchylenie standardowe, jak rozkład błędów prognoz. Aby to zrobić, możemy zdefiniować funkcję R 8220plotForecastErrors () 8221, poniżej: Będziesz musiał skopiować powyższą funkcję do R, aby z niej skorzystać. Następnie można użyć funkcji plotForecastErrors () w celu wykreślenia histogramu (z nałożoną krzywą normalną) błędów prognozy dla przewidywań opadów: wykres pokazuje, że rozkład błędów prognozy jest z grubsza wycentrowany na zero i jest mniej lub bardziej normalnie rozłożony, chociaż wydaje się lekko skrzywiony w prawo w porównaniu do krzywej normalnej. Jednak prawe ukośne ustawienie jest stosunkowo niewielkie i dlatego jest prawdopodobne, że błędy prognozy są zwykle dystrybuowane ze średnią zera. Test Ljung-Box pokazał, że istnieje niewiele dowodów na niezerowe autokorelacje w błędach prognozy w próbie, a rozkład błędów prognoz wydaje się normalnie rozkładany ze średnią zerową. Sugeruje to, że prosta metoda wygładzania wykładniczego zapewnia odpowiedni model predykcyjny dla opadów w Londynie, który prawdopodobnie nie może być poprawiony. Ponadto założenia, na podstawie których oparto się na interwałach przewidywań 80 i 95 (że nie ma autokorelacji w błędach prognozy, a błędy prognozy są zwykle dystrybuowane ze średnią zerową i stałą wariancją) są prawdopodobnie poprawne. Wygładzanie wykładnicze Holt8217s Jeśli masz szereg czasowy, który można opisać za pomocą modelu addytywnego z tendencją rosnącą lub malejącą i bez sezonowości, możesz użyć wygładzania wykładniczego Holt8217s do sporządzania prognoz krótkoterminowych. Wygładzanie wykładnicze Holt8217s szacuje poziom i nachylenie w bieżącym punkcie czasowym. Wygładzanie jest kontrolowane przez dwa parametry, alfa, dla oszacowania poziomu w bieżącym punkcie czasowym, i beta dla oszacowania nachylenia b składnika trendu w bieżącym punkcie czasowym. Podobnie jak w przypadku prostego wygładzania wykładniczego, parametry alfa i beta mają wartości od 0 do 1, a wartości bliskie zeru oznaczają, że podczas wykonywania prognoz przyszłych wartości niewielka waga jest umieszczana na najnowszych obserwacjach. Przykładem szeregu czasowego, który można prawdopodobnie opisać za pomocą modelu addytywnego z tendencją i bez sezonowości, jest szereg czasowy rocznej średnicy spódnic damskich1717, od 1866 do 1911. Dane są dostępne w pliku robjhyndmantsdldatarobertsskirts. dat (oryginalne dane z Hipel i McLeod, 1994). Możemy odczytać i wykreślić dane w R, wpisując: Z wykresu widać, że wzrost średnicy hem wynosił od około 600 w 1866 r. Do około 1050 w 1880 r., A następnie zmniejszono średnicę obrzeża do około 520 w 1911 r. Aby stworzyć prognozy, możemy dopasować model predykcyjny za pomocą funkcji HoltWinters () w R. Aby użyć HoltWinters () do wygładzania wykładniczego Holt8217s, musimy ustawić parametr gammaFALSE (parametr gamma służy do wygładzania wykładniczego Holt-Winters, Jak opisano poniżej). Na przykład, aby użyć wygładzania wykładniczego Holt8217s w celu dopasowania do modelu predykcyjnego dla średnicy obrzeża spódnicy, wpisujemy: Szacowana wartość alfa wynosi 0,84, a beta wynosi 1,00. Oba są wysokie, informując nas, że zarówno oszacowanie bieżącej wartości poziomu, jak i nachylenie b komponentu trendu, opierają się głównie na bardzo niedawnych obserwacjach w szeregach czasowych. Ma to dobry intuicyjny sens, ponieważ poziom i nachylenie szeregów czasowych zmieniają się dość często w czasie. Wartość błędów sumy kwadratów dla błędów prognozy na próbce wynosi 16954. Możemy narysować pierwotne szeregi czasowe jako czarną linię, z prognozowanymi wartościami jako czerwoną linią, wpisując: na podstawie obrazu można stwierdzić, że prognozy na próbce zgadzają się dość dobrze z obserwowanymi wartościami, chociaż mają tendencję do pozostawania w tyle za obserwowanymi wartościami. Jeśli chcesz, możesz określić początkowe wartości poziomu i nachylenia b komponentu trendu, używając argumentów 8220l. start8221 i 8220b. start8221 dla funkcji HoltWinters (). Często ustawia się początkową wartość poziomu na pierwszą wartość w szeregach czasowych (608 dla danych spódnic), a początkową wartość nachylenia na drugą wartość minus pierwszą wartość (9 dla danych spódnic). Na przykład, aby dopasować model predykcyjny do danych obrzeża spódnicy za pomocą wygładzania wykładniczego Holt8217s, z początkowymi wartościami 608 dla poziomu i 9 dla nachylenia b komponentu trendu, wpisujemy: Jeśli chodzi o proste wygładzanie wykładnicze, możemy tworzyć prognozy dla przyszłych czasów nieobjętych oryginalnymi szeregami czasowymi za pomocą funkcji forecast. HoltWinters () w pakiecie 8220forecast8221. Na przykład nasze dane dotyczące szeregów czasowych dla brzegów spódnic były z 1866 do 1911, więc możemy tworzyć prognozy dla 1912 do 1930 (19 kolejnych punktów danych) i narysować je, wpisując: Prognozy są pokazane jako niebieska linia, z 80 interwałów predykcyjnych jako pomarańczowy zacieniony obszar i 95 przedziałów predykcyjnych jako żółty zacieniony obszar. Jeśli chodzi o proste wygładzanie wykładnicze, możemy sprawdzić, czy można ulepszyć model predykcyjny, sprawdzając, czy błędy prognozy w próbie pokazują niezerowe autokorelacje w opóźnieniach 1-20. Na przykład, dla danych dotyczących obrzeża spódnicy, możemy wykonać korelogram i przeprowadzić test Ljung-Box, wpisując: Tutaj korelogram pokazuje, że autokorelacja próbki dla błędów prognozy w próbie w punkcie 5 przekracza granice istotności. Oczekujemy jednak, że jeden na 20 autokorelacji w ciągu pierwszych dwudziestu opóźnień przekroczy dopuszczalne granice 95 przez przypadek. Rzeczywiście, gdy przeprowadzamy test Ljung-Box, wartość p wynosi 0,47, co wskazuje, że istnieje niewiele dowodów na niezerowe autokorelacje w błędach prognozy w próbce w opóźnieniach 1-20. Jeśli chodzi o proste wygładzanie wykładnicze, powinniśmy również sprawdzić, czy błędy prognozy mają stałą zmienność w czasie i są zwykle dystrybuowane ze średnią zera. Możemy to zrobić poprzez sporządzenie wykresu czasowego z błędami prognozy i histogramu rozkładu błędów prognozy z nałożoną krzywą normalną: Wykres czasowy błędów prognozy pokazuje, że błędy prognozy mają z grubsza stałą zmienność w czasie. Histogram błędów prognozy pokazuje, że jest prawdopodobne, że błędy prognozy są normalnie dystrybuowane ze średnią zerową i stałą wariancją. Tak więc test Ljung-Box pokazuje, że niewiele jest dowodów na autokorelacje w błędach prognozy, podczas gdy wykres czasowy i histogram błędów prognozy pokazują, że jest prawdopodobne, że błędy prognozy są normalnie dystrybuowane ze średnią zerową i stałą wariancją. W związku z tym można wyciągnąć wniosek, że wygładzanie wykładnicze Holt8217 zapewnia odpowiedni model predykcyjny dla średnic obrzeży, których prawdopodobnie nie można poprawić. Ponadto oznacza to, że założenia, na podstawie których oparto prognozy 80 i 95, są prawdopodobnie poprawne. Holt-Winters Exponential Smoothing Jeśli masz szereg czasowy, który można opisać za pomocą modelu addytywnego z rosnącym lub malejącym trendem i sezonowością, możesz użyć wygładzania wykładniczego Holt-Winters do sporządzania prognoz krótkoterminowych. Wygładzanie wykładnicze Holt-Winters szacuje poziom, nachylenie i składową sezonową w bieżącym punkcie czasowym. Wygładzanie jest kontrolowane przez trzy parametry: alfa, beta i gamma, odpowiednio dla oszacowań poziomu, nachylenia b komponentu trendu i komponentu sezonowego w bieżącym punkcie czasowym. Wszystkie parametry alfa, beta i gamma mają wartości od 0 do 1, a wartości bliskie zeru oznaczają, że stosunkowo mała waga jest umieszczana na najnowszych obserwacjach podczas tworzenia prognoz przyszłych wartości. Przykładem szeregu czasowego, który można prawdopodobnie opisać za pomocą modelu addytywnego z trendem i sezonowością, jest szereg czasowy dziennika miesięcznych wyprzedaży sklepu z pamiątkami w nadmorskim kurorcie w Queensland w Australii (omówionym powyżej): prognozy, możemy dopasować model predykcyjny za pomocą funkcji HoltWinters (). Na przykład, aby dopasować model predykcyjny do dziennika miesięcznej sprzedaży w sklepie z pamiątkami, wpisujemy: Szacowane wartości alfa, beta i gamma wynoszą odpowiednio 0,41, 0,00 i 0,96. Wartość alfa (0,41) jest stosunkowo niska, co wskazuje, że oszacowanie poziomu w bieżącym punkcie czasowym opiera się zarówno na ostatnich obserwacjach, jak i na niektórych obserwacjach w bardziej odległej przeszłości. Wartość beta wynosi 0,00, co oznacza, że ​​estymacja nachylenia b komponentu trendu nie jest aktualizowana w szeregach czasowych, a zamiast tego jest ustawiona jako równa wartości początkowej. Daje to dobry intuicyjny sens, ponieważ poziom zmienia się nieco w szeregach czasowych, ale nachylenie b komponentu trendu pozostaje w przybliżeniu takie samo. Natomiast wartość gamma (0,96) jest wysoka, co wskazuje, że oszacowanie składnika sezonowego w bieżącym punkcie czasowym opiera się właśnie na bardzo niedawnych obserwacjach. Jeśli chodzi o proste wygładzanie wykładnicze i wygładzanie wykładnicze Holt8217, możemy wyrysować oryginalne szeregi czasowe jako czarną linię, z prognozowanymi wartościami jako czerwoną linią: Z wykresu widzimy, że metoda wykładnicza Holt-Winters jest bardzo skuteczna w przewidywaniu szczytów sezonowych, które pojawiają się mniej więcej w listopadzie każdego roku. Aby prognozy na czasy przyszłe nie były zawarte w oryginalnych szeregach czasowych, używamy funkcji 8220forecast. HoltWinters () 8221 w pakiecie 8220forecast8221. For example, the original data for the souvenir sales is from January 1987 to December 1993. If we wanted to make forecasts for January 1994 to December 1998 (48 more months), and plot the forecasts, we would type: The forecasts are shown as a blue line, and the orange and yellow shaded areas show 80 and 95 prediction intervals, respectively. We can investigate whether the predictive model can be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20, by making a correlogram and carrying out the Ljung-Box test: The correlogram shows that the autocorrelations for the in-sample forecast errors do not exceed the significance bounds for lags 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk